Qu’est-ce que la roue à inertie ?

Les mathématiques derrière le rapport technique VeloNews : Léger comme une plume, Rigidité comme une planche

Mesure du moment d’inertie d’une roue à l’aide d’un pendule de torsion Illustration : Mike Reisel Note de l’éditeur : Ce qui suit est une explication du test d’inertie utilisé dans le numéro du 18 août 2008 de VeloNews (et plus tard dans le numéro de septembre 2010). Prenez une tasse de café et votre bonnet de réflexion. Vous aurez besoin des deux pour que Lennard s’en sorte de la physique.

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Si vous déplacez un objet rigide en ligne droite, peu importe la répartition de sa masse, la quantité de travail nécessaire pour le déplacer sera la même. Ce n’est pas vrai si vous conduisez l’objet en le faisant pivoter ; alors, la façon dont la masse est distribuée joue un rôle important dans la quantité d’énergie nécessaire pour le déplacer. Dans le cas d’une roue, il est probablement évident qu’il faudra plus de travail pour l’accélérer si la masse est concentrée sur son bord plutôt qu’en son centre. Mais comment quantifier cela ?

L’ inertie rotationnelle, ou moment d’inertie, est l’équivalent en rotation de la masse ; c’est la quantité que nous voulons mesurer pour voir combien d’énergie il faut pour accélérer une roue. On peut mesurer la masse de la roue assez facilement, mais il n’est pas forcément vrai que la roue la plus légère aura le moment d’inertie le plus faible, ou vice versa.

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C’est là qu’intervient le pendule de torsion, un appareil qui mesure l’inertie de rotation d’une roue.

Depuis que j’ai construit ce pendule de torsion pour roues de vélo et que j’ai testé le moment d’inertie de certaines roues dans le numéro du 28 juin 1999 de VeloNews, je voulais fournir aux lecteurs une explication complète de la physique en jeu. Le voici donc.

Utilisation du pendule de torsion

Si nous tournons la tige de suspension verticalement à un angle relativement petit sans roue attachée, elle se tord rapidement d’avant en arrière, et nous peut mesurer le nombre de fois où la tige horizontale soudée oscille d’avant en arrière dans un laps de temps donné. Nous ne voulons pas tordre au point de dépasser la limite élastique de la tige ; nous voulons être bien dans la plage où elle ressort d’une manière répétable.

Si nous fixons une roue à l’extrémité de la tige verticale et que nous la tordons à un angle tout aussi bas, elle se tord d’avant en arrière plus lentement. Plus le moment d’inertie de la roue est élevé, plus le pendule de torsion se tord lentement d’avant en arrière.

Et tant que nous maintenons la déviation à des angles bas, peu importe l’angle auquel nous nous tournons réellement ; l’une des caractéristiques du mouvement harmonique oscillant est que la période et la fréquence sont indépendantes de l’amplitude.

Notre tige verticale se comporte comme un ressort, et nous visons à découvrir la constante de torsion du ressort de la tige. À partir de là, nous pouvons déterminer le moment d’inertie de l’ensemble de l’appareil — la roue et la tige horizontale torsion d’avant en arrière. Le moment d’inertie de la tige horizontale doit être soustrait du moment total pour rester avec le seul moment d’inertie de la roue. Heureusement, le moment d’inertie d’un cylindre solide uniforme autour d’un diamètre central est facile à trouver.

Inertie rotationnelle ou moment d’inertie

Si nous avons un corps rigide tournant à une vitesse angulaire Ω autour d’un axe fixe, chaque particule qu’il contient aura une certaine quantité d’énergie cinétique. Une particule de masse m au rayon r de l’axe de rotation se déplace dans un cercle de rayon r avec une vitesse angulaire Ω autour de cet axe. Il a donc une vitesse linéaire de v = Ωr, et son énergie cinétique K est de ½ mv2 = ½ mΩ2R2. L’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques de ses particules, et chaque particule d’un corps rigide se déplace avec la même vitesse angulaire Ω (elle se déplace selon le même nombre de degrés d’angle par unité de temps), mais le rayon r peut être différent pour différents particules. L’énergie cinétique totale est donc

K = ½ (m1r12 m2r22 …) Ω2 = ½ (miri2) Ω2

La somme des produits des masses des particules par les carrés de leurs distances par rapport à l’axe est de miri2. Il s’agit du moment d’inertie ou d’inertie rotationnelle et est dénoté par I.

I = miri2

Ainsi, l’énergie cinétique de l’ensemble du corps rigide peut maintenant être écrite comme :

K = ½ I Ω2

Il ne s’agit pas d’un nouveau type d’énergie cinétique ; comme vous l’avez vu à partir de la dérivation, il s’agit de la même énergie cinétique de translation K = ½ mv2 exprimée pour un corps rigide tournant autour d’un axe fixe.

Plutôt que d’ajouter des termes distincts pour les masses ponctuelles discrètes, nous intégrons I pour un corps rigide avec une distribution continue de la matière, ce qui donne

I = r2dm

Et en le calculant pour un cylindre solide uniforme tournant autour d’un diamètre central, comme la tige horizontale de notre appareil qui tourne perpendiculairement à la tige verticale, nous trouvons :

I = MR2/4 ML2/12

M est la masse totale de la tige cylindrique, R est le rayon de la tige et L est la longueur de la tige. Dans le cas de notre pendule de torsion, M = 87 grammes, L = 70 cm et R = 0,225 cm, donc

Irod = 3,5 X 104 g-cm2

Équation du mouvement

L’équation du mouvement d’un simple oscillateur harmonique — une particule se déplaçant d’avant en arrière autour d’une position d’équilibre (pensez à un bloc d’acier attaché à un ressort et glissant sur une surface sans friction, oscillant d’avant en arrière lorsque le ressort s’étend et se comprime) – peut être dérivée de la réflexion sur son énergie potentielle, U. L’expression de l’énergie potentielle d’un ressort « idéal » (qui ne perd pas d’énergie par frottement) comprimé ou étendu sur une distance x est :

U (x) = ½ k x 2

Où k est une constante arbitraire. La physique de première année et le calcul de base nous indiquent que la force agissant sur le bloc est

F (x) = — du/dx = — d (½ k x2) /dx = — kx

C’est ce qu’on appelle la loi de Hooke, et en utilisant La deuxième loi de Newton, F = ma,

m d2x/dt2 = — kx

ou l’équation différentielle du mouvement pour un oscillateur harmonique simple,

d2x/dt2 kx/m = 0

La version rotationnelle de cette équation différentielle pour notre pendule de torsion est similaire, mais nous nous intéressons maintenant au déplacement angulaire, θ, pas à la position linéaire, x, au moment d’inertie, I, pas à la masse, m, et au couple, τ, pas à la force, la loi de F. Hooke devient alors

τ = I d2θ/dt2 = — kθ

ou,

d2θ/dt2 kθ/I = 0

La constante k dépend maintenant des propriétés de la tige verticale et est appelée constante de torsion. La solution exige que θ (t) soit une fonction dont la deuxième dérivée est la négative de la fonction elle-même, sauf pour le facteur constant K/i. La fonction sinus ou cosinus possède cette propriété et n’est pas affectée par la multiplication par une constante A, donc une solution à cette équation est

θ = A cos (Ωt)

où Ω = √ (K/i) est la fréquence de oscillation angulaire en radians/sec, et A est le déplacement angulaire maximal ; en d’autres termes, c’est l’amplitude de l’oscillation angulaire.

(Une solution générale à cette équation est en fait

θ = A cos (Ωt σ)

où la constante σ permet toute combinaison de solutions sinusoïdale et cosinusoïdale, puisque

cos (Ωt σ) = cos (Ωt) cos (σ) — sin (Ωt) sin (σ) = a cos (Ωt) b sin (Ωt)

Cependant, σ n’affecte que la phase de l’oscillation, de sorte que pour trouver le moment d’inertie, il n’apporte aucun avantage, pas plus qu’il n’inclut les fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale. Nous pouvons donc simplifier l’équation à θ = A cos (Ωt), tout en conservant tout ce dont nous avons besoin pour calculer les moments d’inertie des roues.)

On peut démontrer que cos (Ωt) est une fonction oscillatoire dont la valeur se répète chaque fois que Ωt augmente d’un multiple entier de 2π, ce qui signifie un nombre entier de cycles.

θ = A cos

= A cos (Ωt 2π)

= A cos (Ωt)

Dans d’autres mots, si le temps t est augmenté de 2π/Ω, l’expression se répète, donc 2π/Ω est donc la période du mouvement T.

Découverte de la constante de torsion k

Nous pouvons trouver k de deux façons différentes.

1) Nous pouvons mesurer le couple nécessaire pour tordre notre tige de torsion à un angle donné θ, puisque τ = kθ. Pour ce faire, nous avons enroulé la tige de torsion à un angle donné θ en poussant l’extrémité de la tige horizontale du pendule de torsion perpendiculairement à un angle donné θ avec une échelle numérique. L’échelle affichait 82 grammes à 30 degrés, ou π/6 radians, et comme il y a 980 dynes dans un gramme de force (c.-à-d., ajustement en fonction de l’accélération de la gravité), la force de déplacement de l’embout de biellette π/6 radians était

F (π/6) = 82 * 980 = 8 X 104 dynes

Les forces mesurées à π/4 (45 degrés), π/3 (60 degrés) et π/2 (90 degrés) étaient de 133 gf, 199 gf et 273 gf, ce qui donne

F (π/4) = 133 * 980 = 1,3 X 105 dynes

F (π/3) = 199* 980 = 1,9 X 105 dynes

F (π/2) = 273 * 980 = 2,7 X 105 dynes

Puisque l’amplitude du couple τ est r * F, où F est la force appliquée perpendiculairement au rayon r, et r = 35 cm pour notre tige horizontale, en utilisant τ = kθ, nous obtenons notre plus petit angle

k π/6 = r * F = (35 cm) (8 X 104 dynes)

k = 6 (35) (8 X 104) /π dyne cm

= 5 X 106 erg

En utilisant la même méthode, nous obtenons

k = 6 X 106 erg

sous les trois autres angles.

2) On peut également déterminer k en mesurant la période d’oscillation de l’appareil sans roue attachée. Puisque Ω = √ (K/i) et T = 2π/Ω, alors

(2π/t) 2 = K/i

et

k = (2π) 2I/T2

En insérant la période d’oscillation de la tige seule (0,5 s) et le moment d’inertie que nous avons calculé ci-dessus pour la tige seule, Irod = 3,5 X 104 g-cm2, nous obtenons

k = (2π) 2 (3,5 X 104 g-cm2)/(0,5 s) 2

= 6 X 106 erg

Maintenant que nous avons k, nous pouvons trouver le moment d’inertie de n’importe quelle roue que nous attachons à notre pendule de torsion ! On y va !

Deux façons équivalentes de résoudre pour I

1) Nous avons vu plus haut que l’énergie potentielle d’un oscillateur harmonique linéaire est

U (x) = ½ k x 2

L’expression équivalente de notre pendule de torsion est

U (θ) = ½ k θ2

Nous savons également que l’énergie totale du système est égale à la somme de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique, ou E = K U. Lorsque l’énergie potentielle est maximale, le pendule est arrêté à la fin de son mouvement, donc K = 0. Lorsque l’énergie cinétique est maximale est à θ = 0, où il n’y a pas de torsion dans la tige, donc U = 0.

Depuis θ = Acos (Ωt)

l’énergie potentielle U sera à son maximum lorsque cos (Ωt) est à son maximum, c’est-à-dire lorsque cos (Ωt) = 1. Ainsi,

U (max) = ½ k 2

= ½ kg A2

Si nous devions représenter graphiquement la vitesse angulaire Ω en fonction du temps, nous verrions que la vitesse angulaire maximale est ΩA, et puisque T = 2π/Ω, nous obtenons

K (max) = ½ I Ω2

= ½ I (2π/τ) 2A2

Nous savons que K (max) = U (max), donc

½ k A2 = ½ I (2π/τ) 2A2

ou,

I = k τ2/4π2

2) Une autre façon de voir cela est que puisque Ω = √ (K/i) et T = 2π/Ω, alors

(2π/t) 2 = K/i

puis,

I = k τ2/4π2

N’oubliez pas que c’est le moment d’inertie de l’ensemble du système ; nous devons soustraire le moment d’inertie de la tige horizontale seule pour ne laisser que le moment d’inertie de la roue, donc

I = k τ2/4π2 — Irod

Brancher les chiffres et trouver les moments d’inertie des roues

Note de l’éditeur : Ce qui suit s’applique spécifiquement aux roues d’escalade testées pour le numéro du 18 août 2008.

Si nous choisissons l’une des roues qui est sortie au milieu des lectures, à savoir 20 oscillations en 30 secondes, nous trouvons à la fois les roues avant et arrière Reynolds et Shimano ainsi que la roue avant Easton. La période d’oscillation T est donc de 30/20 secondes, soit 1,5 seconde. En branchant ceci et le k = 6 X 106 erg, et l’Irod = 3,5 X 104 g-cm2 que nous avons obtenu plus tôt, nous obtenons

I = (6 X 106) (1,5) 2/4π2 — 3,5 X 104 g-cm2

= 3 X 105 g/cm2

pour les roues avant et arrière Shimano et Reynolds et les roues avant Easton.

Il est toujours intéressant et instructif de revérifier nos réponses. Imaginons d’abord que toute la masse d’une roue théorique soit concentrée sur son bord extérieur, donc I = MR2, où M est la masse totale de la roue et R est le rayon de la roue (qui dans le cas de toutes ces roues est de 31,75 cm, puisqu’elles roulent sur une circonférence de 199,5 cm). Donc, R2 = 1008 ≈ 103. Pour qu’une roue avec toute sa masse concentrée sur son bord extérieur ait le même moment d’inertie que celui que nous avons calculé pour les roues avant et arrière Shimano et Reynolds et les roues avant Easton, quel devrait être son poids ?

M = I/R2

= 3 X 105/103 grammes

= 300 grammes

C’est crédible, hein ?

Regardons les choses d’une autre façon. Et si la masse entière de la roue avant Shimano, par exemple, était concentrée sur son bord extérieur, quel serait son moment d’inertie ?

I (max) = MR2

= 526 (31.75) 2 g-cm2

I (max) = 5,3 X 105 g-cm2

Que diriez-vous si seulement la moitié de la masse de la roue avant Shimano se trouvait sur le bord de la jante et que l’autre moitié de sa masse était située directement en son centre à r = 0 ?

I (1/2max) = ½ MR2 ½ M (0) 2

= 263 (31.75) 2 g-cm2

= 2,7 X 105 g-cm2

Nous obtenons des chiffres crédibles les uns avec les autres. Je pense que nous pouvons maintenant calculer le reste des roues en toute confiance.

Roue avant à fréquence d’oscillation

Cycles moy. en 30 secondes Période (sec.) I (g-cm2) Poids (g)
Bontrager Race XXX Lite 19 1,58 s 3,4 X 105 511 g
Campagnolo Hyperon 19.33 1,55 s 3,2 X 105 541 g
Easton EC90SLX 20 1,50 s 3 X 105 514 g
Reynolds MV30T 20 1,50 s 3 X 105 503 g
Shimano WH-7850-C24-TU 20 1,50 s 3 X 105 526 g
Zipp 202 21 1,43 s 2,7 X 105 464 g

Oscillation de fréquence des roues arrière

Bontrager Race XXX Lite 19 1,58 s 3,4 X 105 693 g
Campagnolo Hyperon 19 1,58 s 3,4 X 105 711 g
Easton EC90SLX 19 1,58 s 3,4 X 105 714 g
Reynolds MV30T 20 1,50 s 3 X 105 662 g
Shimano WH-7850-C24-TU 20 1,50 s 3 X 105 725 g
Zipp 202 21 1,43 s 2,7 X 105 594 g

Comme vous pouvez le constater, le Zipp a le poids le plus bas et le moment d’inertie le plus bas. Son inertie de rotation est la même que si elle pesait 270 grammes, le tout concentré sur son bord extérieur. On dirait une roue rapide, toutes choses étant égales par ailleurs (ce qu’elles ne sont jamais).

Il est intéressant de noter que la roue Shimano est beaucoup plus lourde que la Bontrager à l’avant et à l’arrière, mais son moment d’inertie est plus faible. Et les roues Shimano partagent la même inertie de rotation que les roues Reynolds, qui sont encore plus légères. Cela indique que la jante du Shimano et les extrémités extérieures de ses rayons sont plus légères. Les inerties de rotation du Shimano et de l’Easton sont les mêmes que si elles pesaient 300 grammes, toutes concentrées au diamètre extérieur de la jante, tandis que l’inertie de rotation du Bontrager est la même que si elle pesait 340 grammes, toutes concentrées au diamètre extérieur de la jante.

105 725 g Zipp 202 21 1,43 s 2,7 X 105 594 g

Comme vous pouvez le constater, le Zipp a le poids le plus bas et le moment d’inertie le plus bas. Son inertie de rotation est la même que si elle pesait 270 grammes, le tout concentré sur son bord extérieur. On dirait une roue rapide, toutes choses étant égales par ailleurs (ce qu’elles ne sont jamais).

Il est

intéressant de noter que la roue Shimano est beaucoup plus lourde que la Bontrager à l’avant et à l’arrière, mais son moment d’inertie est plus faible. Et les roues Shimano partagent la même inertie de rotation que les roues Reynolds, qui sont encore plus légères. Cela indique que la jante du Shimano et les extrémités extérieures de ses rayons sont plus légères. Les inerties de rotation du Shimano et de l’Easton sont les mêmes que si elles pesaient 300 grammes, toutes concentrées sur le diamètre extérieur de la jante, tandis que l’inertie de rotation du Bontrager est la même que si elle pesait 340 grammes, toutes concentrées sur sa jante extérieure

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